數學（理科）試題
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一．選擇題：本大題共12題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求。
1． ，則M ，N兩個集合關系正確的是
A． B．
C． D．
2．復數 等于
A． B． C． D．
3．在等差數列 中，若 ，則
A． B． C． D．1
4．某班級要從4名男生．2名女生中選派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女
生，那么不同的選派方案種數為
A．48 B．28 C．24 D．14
5．已知函數 ，是 的反函數，若m+n=6，則 的值為
A．0 B．1 C．2 D．6
6．在△ABC中，角A．B．C的對邊分別為a．b．c，若 ，則角B的值是
A． B． C． 或 D． 或
7．把一枚質地均勻六面分別標有1，2，3，4，5，6的小正方體投擲兩次，并記第一次出
現的點數為 ，第二次出現的點數為 ，向量 ，則向量 與向量 不共線的概率為
A． B． C． D．
8．若 ,則
A． B．
C． D．
9．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為 ，且 ，則雙曲線的離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
10．已知一個正三棱錐的側棱長為4，且側棱與底面所成的角為 ，則該正三棱錐的體積為
A． B． C． D．
11．已知橢圓的中心為O，右焦點為F，右頂點為G，右準線與x軸的交點為H，則的最大值為
A． B． C． D．
12．已知函數
（ R），則滿足 的a的值有
A．2個 B．3個 C．4個 D．無數個
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．
13． 的展開式中的常數項是 ．
14．已知不等式 解集為 ，則a + b = _____________．
15．球面上有三個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的 ，經過這三個點的小圓的周長為 ，則這個球的表面積為
16．已知實數a，b使函數 是偶函數，則在所有滿足條件的偶函數中，圖象與 軸交點縱坐標的最大值為 ，最小值為 ．
三．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
設函數
（Ⅰ）求函數 的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）當 時，函數 的最小值為2，求此時函數 的最大值，并指出x取何值時函數 取到最大值．
18．（本小題滿分12分）
某用人單位招聘規則為：在所有報名人員中舉行4次統一測試，如果通過其中2次測試即被錄用，不用參加其余的測試，而每人最多也只能參加4次測試．假設某人每次通過測試的概率都是 ，每次測試通過與否互相獨立．規定：若前3次都沒有通過測試，則不能參加第4次測試．
（Ⅰ）求該人被錄用的概率；
（Ⅱ）記該人可以參加測試的次數為 ，求 的分布列及ξ的數學期望．
19．（本小題滿分12分）
設數列 的前 項和為 ， ，已知 （n =1，2，3，…）
（Ⅰ）求證： 是等差數列；
（Ⅱ）設 是數列的前 項和，求使 對所有
的 都成立的最大正整數 的值．
20．（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱 中，AC=BC=2，
AB= = ，點D是AB的中點，點E是 的中點．
（Ⅰ）求證： ⊥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角 的大�。�
21．（本小題滿分12分）
已知函數 ．
（Ⅰ）求證：當 時，方程 有唯一解；
（Ⅱ）當 時，若 ≥ 在 ∈（０，１］內恒成立，求 的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
已知拋物線C: （b為常數），A ，B為拋物線上兩點，若過A ，B的兩條切線相互垂直．
（Ⅰ）求AB中點軌跡E的方程;
（Ⅱ）將（Ⅰ）中曲線E按向量 平移后得到曲線記為F，設F與兩坐標軸有三個交點；
（�。┣筮^這三個交點的圓的方程．
（ⅱ）問圓C′是否經過某定點（其坐標與b無關），若過，求出定點; 若不過，說明理由．
參考答案
一．每小題5分，共60分 DACDB DACBB DD
二．每小題5分，共20分．其中第16題前空2分,后空3分．
13． 60； 14． ； 15． ； 16． 2，-
三．解答題:本大題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（Ⅰ）
∴
（Ⅱ） （7分）
（8分）
∴ （10分）
18．解：（Ⅰ）記“該人被錄用”的事件為事件A，其對立事件為 ，則
（Ⅱ）該生參加測試次數ξ的可能取值為2，3，4，依題意得
分布列為
2 3 4
p 1/9 4/9 4/9
………………………………．11分
故 ……………．．12分
19．解：（Ⅰ）依題意 ， ，故 …1分,
當 時， ① 又 ②
②―①整理得： ，故 為等比數列…………………3分
且 …………4分∴ ……………………………．5分
，即 是等差數列…………………．6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
… …8分．
…………9分，依題意有 ，解得 …11分
故所求最大正整數 的值為 ……………………………………………12分
20．
解法一:（1）證明：
…………………………．5分
（8分）
解法二：以C為坐標原點,射線CA為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐 標系C-xyz．依題意有C ,
（3分）
（Ⅰ）
（Ⅱ）解：
21．解（1）原方程為
設
令
令
變化情況如下表：
（0，1） 1 （1，+∞）
－ 0 +
遞減 0 遞增
即 在 處有一個最小值0，即當 時， >0，∴ =0只有一個解．即當 時，方程 有唯一解………………………6分．
22．解：（Ⅰ）設A ．A,B的中點為M(x, y )
則 （1分） 依題意 又由過兩點A,B的切線相互垂直得
從而
即所求曲線E的方程為 y= ……………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲線F方程為 即 ,令 ＝0，得曲線F與 軸交點是（0，b ）；令 ，由題意b≠-1 且Δ＞0，解得b＜3 且b≠-1． …………………………………………．6分
（�。┓椒ㄒ唬涸O所求圓的一般方程為 令 ＝0 得 這與 ＝0 是同一個方程，故D＝4， ．…………………．8分．
令 ＝0 得 ，此方程有一個根為b+1，代入得出E＝―b―1．
所以圓C 的方程為 …………………9分
方法二： ①+②得
（ⅱ）方法一：圓C 必過定點（0，1）和（－4，1）．………………………11分
證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，
所以圓C 必過定點（0，1）．同理可證圓C 必過定點（－4，1）．…………………12分
方法二：由 圓C 的方程得 ………………11分
編輯者：廣州家教（廣州家教網)
